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全概率公式是破解概率难题的利器

全概率公式在概率论中的重要性无需多言, 它的足迹几乎遍及概率论的每一个领域, 从最初等的应用到最尖端的前沿, 随处可见它的踪影. 它的魅力在于化繁为简的神奇功效. 不仅如此, 它还是贝叶斯公式的基石,

魏尔斯特拉斯定理的概率证明

魏尔斯特拉斯定理是分析数学中的一个重要定理. 它表明有界闭区间上的连续函数可用多项式函数一致逼近, 是函数逼近论方面的一个基础性结论. > 定理 1 设 $f(x)$ 为定义在 $[0,1]$ 上

用概率方法求极限

在概率论的极限问题中，大数律常为我们揭示随机量背后的长期稳定结构。但在运用大数律处理具体极限时，每一步的变换、界估与极限交换都必须严格验证其合法性，否则结论可能偏离真实行为。本文通过几个典型例子展

非负值随机变量数学期望的两种求法

在计算非负随机变量的期望时，许多人习惯直接套用定义，却常常忽略了分布尾部隐藏的更简洁结构。本文从两个角度重新审视期望的计算：一个来自指标函数的逐项展开，另一个来自尾分布的积分表达。它们不仅等价，而且在

数列题型1--绝对值

1、对于首项小于 0 而公差大于 0 的等差数列 $\{a_n\}$ 加绝对值后得到的数列 $\{|a_n|\}$ 求和, 设 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, $\{|a_n

大间距组合及其概率应用

我们经常会遇到一些与大间距数组有关的问题. 例如: 坐在同一排中的若干个人是否相邻、相继到来的异常现象相隔多远、几个好朋友的生日相隔多久, 等等, 它们都可以归纳为数集 $\{1,2,\cdots,n

「假设检验八讲」第6讲: 方差分析——从多组比较到显著性分解

在前面几讲中，我们用 **t检验** 判断两组数据是否存在显著差异。但现实问题往往不止两组： <span style="color: #1296db">**不同教育水平的人收入是否不同？三种广

掷骰子点数和的整除性试探

【引言】本文研究骰子部分和$S_n$的模$k$余数，当$k=2,3,6$时，我们得到余数序列$Y_n$的分布与$n$无关的简洁结构。对于$k=4,5$，我们发现$Y_n$的分布随$n$变化，是一个马尔

「假设检验八讲」第5讲: 第一类错误和第二类错误——统计学的两难选择

在假设检验中，我们总是根据样本来判断总体，但样本有随机性。这意味着——无论我们多么谨慎，**总有可能“判断错”** 。统计学家把这种风险分成两类： <span style="color: #129

「假设检验八讲」第4讲: 原假设和备择假设，到底怎么设定？

在统计检验中，**假设设定**是一切的起点。很多同学在写论文或做实验时最常问的问题是：“到底该怎么设原假设？为什么原假设总是假定‘没有差异’？” ### 【一】从咖啡实验说起：研究总要有“